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《全日制义务教育数学课程标准》在“总体目标”中提出了“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”、“情感与态度”四个方面的具体目标。这些目标的实现，都直接关系到数学方法的教育，对于学生来讲，不理解和掌握数学方法，知识就无法获得，技能就无法形成，思考就无法进行，“解决问题”和“发展情感”也就会流于空谈。数学方法主要包括数学知识形成与结构的方法、数学学习和研究的思维方法、问题解决的策略方法、解题的技巧方法等。这些方法都应该引起足够的重视，都必须有计划地进行教育。这里我想着重说一下获取新知识的数学方法。
观察与实验
观察与实验是收集数学事实，获得感性经验的基本方法，是获得和发展数学知识的实践基础。在小学数学教学中，要经常引导学生从数学观察和操作实验入手展开学习。例如，“商不变的性质”和“分数的基本性质”就是通过观察一组算式而发现的；平行四边形、三角形和圆的面积计算公式就是通过操作实验和观察得出的。所以，加强数学方法的教育，一定要帮助学生掌握观察、实验的方法，在观察时能做到：全面观察，整体与部分相结合；有序观察，上下、左右、内外有机联系；突出重点，边观察边思考；集中注意，认真细致；主动积极，尝试归纳。在操作实验时要做到：事前做好物质准备、思想准备、知识准备；依序操作，理解操作方法与技术；手脑并用，边操作、边观察、边思考；主动认真，在操作、观察的基础上尝试概括归纳；操后互议，与同伴交流实验操作的过程与心得。例如，教学“圆柱体的表面积计算”时，可引导学生摸一摸自己制作的圆柱体模型，观察圆柱体的表面积包括哪几部分，并且反复拆开来观察原来的表面由展开图形中的哪些部分组成。在此基础上，让学生做三件事：交流观察的情况与结果；画出圆柱及其表面展开图；给出数据算出表面积，再擦去图说说算式的意义。学生在操作实验和观察中掌握了新知，发展了思维，激活了创新意识，培养了解决实际问题的能力。
抽象与归纳
抽象是在观察、实验的基础上，通过思考抽出数学现象之间共同的本质性的思维活动。归纳是从个别数学事实中概括出一般原理的思维活动。抽象是通过分析与比较事物的特征而进行的。所以，学习抽象的方法，首先要学习分析的方法与比较的方法。分析法是将认知对象分解成各个部分分别加以考察，从而认识事物的方法。比较法是寻找和确立事物间的异同点及相互关系的方法。归纳是在抽象与综合的基础上进行的，所以要学会归纳法，除抽象的方法外，还必须学习综合法，即将有关被研究对象的各个部分的认识组合起来形成一个整体认识的思维方法。这两种方法在实践中常常是有机结合、综合应用的。例如，教学“能被3整除的数”时，教师提出了10个数：12、15、48、24、39、16、19、49、37、56让同学们研究。通过观察、分析与比较，学生发现，前5个数都能被3整除，后5个数都不能被3整除；前5个数各数位上的数相加后能被3整除，后5个数则不能。再通过抽象与综合，学生概括归纳出了能被3整除的数的特征。
猜想与证明
直觉思维通常是以数学猜想的形式表现出来，所以，加强数学方法的教育，一定要教给学生数学猜想的方法。数学猜想的方法主要有四：直感式猜想，即运用表象对具体形象进行直接猜测性判断；联想式猜想，即通过联想进行估猜式认定；探索式猜想，即在探索中逼近目标的猜想；类比式猜想，即通过类比迅速作出假想或判断。由于猜想是带着猜测和假想性的思维活动，所以，猜想出的内容是否科学，还需要加以证明。证明的方法是数学方法的重要内容，必须帮助学生理解与掌握。在小学阶段，需要理解与掌握的证明方法主要有三点：列举证明，即举出若干实例或事实，证明猜想的结论是正确的、可靠的；实验证明，即通过操作实验证明猜想的准确性；初步的推理证明，即运用已经掌握的数学知识进行逻辑推理，从而论证猜想的可靠性。例如，教学“圆锥的体积”，“圆锥体的体积大小与它的什么有关”？学生猜出“与它的底面积和高的大小有关”后，再让学生猜猜“圆锥体的体积与它等底、等高的圆柱体的体积有什么关系”？有的学生猜“圆锥体的体积是与它等底、等高的圆柱体积的二分之一”，有的猜前者是后者的“三分之一”或其他情况。这是一种探索性的猜想，也带有联想性猜想的性质。哪一种猜想对呢？这就要验证。接着教师引导学生用学具通过“倒沙”或“倒米”的方法进行了验证，这是一种实验证明法。通过实验，最后得出了圆锥体体积的计算公式。所以，猜想与证明是重要的教学方法。
类比与联想
类比是对数学现象在比较中进行类推的一种推理方法。可以是从个别到一般的推广、从特殊到特殊、从一般到一般、从低级到高级等多种形式。例如从一个锐角三角形的三个内角和是180度类推出“三角形三个内角的和是180度”，是从个别到一般；从“商不变的性质”类推出“分数的基本性质”和“比的基本性质”是从一般到一般的类比推理联想方法包括接近联想、类似联想、因果联想、对比联想和自由联想数种。学生掌握了联想的方法，学习思路可以有效的拓展，从而闪跃出创新思维的火花。例如：解答应用题，“某工程队修一条长4800米的路，前4天修了全长的40%，还要几天才能修完？”一般学生都是先求出一天修多少米，再求修全长要用多少天，用以减4得出结果，列式是：4800÷(4800×40%÷4)-4，最后得到6天。有的学生联想到工程问题，先求出一天修百分之几，再求剩下的60%要多少天修完，列式是(1-40%)÷(40%÷4)，也得6天。从这位学生的联想中进行新的联想，又有的学生想到整体与部分的关系，提出更新巧的解法：即4÷40%-4=6(天)。这就是掌握了联想思维的方法所绽开的创新思维之花。
发散与想像
发散作为一种思维形式指的是从同一个问题出发，从不同角度思考，从而探求问题解决的不同途径的思维过程与方法。思维发散的方法主要有联想发散、类比发散和想像发散三种。所以，教给学生思维发散的方法，除了教给联想的方法、类比的方法外，重点是在教给想像的方法上下功夫。帮助学生理解与掌握想像的方法，主要是指导学生通过根据语言的描述在头脑中形成有关事物的形象、口头表达操作实验过程和根据问题解决需要绘制“脑图”，借助“脑图”展开思维或提出新“假说”等途径，来领悟学生想像的方法。例如，在教学“认识简单图形”后，可让学生用红、黄、蓝、绿的三角形、正方形、圆、长方形等学具拼画，然后给画取名，数一数自己所拼画中各有多少个三角形、长方形、正方形、圆形等。此时，学生就能充分展开想像的翅膀，拼成一幅幅代表儿童心灵的画：“太空人”、“机器人”、“小白兔的家”，等等。这样的拼图训练，不仅巩固了学生的数数能力和对图形的认识，而且也充分发挥了学生的想像力。
化归与逻辑
张奠宙、过伯祥著的《数学方法论稿》中指出：“所谓化归方法，就是将一个问题A进行变形，使其归结为另一个已能解决的问题B，既然B已可解决，那么A也就能解决了”。化归方法在小学数学学习中具有广泛的应用价值。如平行四边形、三角形和圆面积的计算公式的获得，都是用的化归法。逻辑方法指一种现象往往会引起另一种现象，前者是原因，后者是结果。在小学阶段，逻辑方法教育的主要任务，就是要结合数学学习，引导和指导学生学会有根据地进行数学思考，培养学生初步的逻辑推理能力。
《中国教育报》2003年10月12日第8版 |
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